FC2ブログ

盲目の幾何学者

  • Day:2011.05.21 01:15
  • Cat:数学
vda05_convert_20110520234435_convert_20110520234722.jpg

ここに盲目の幾何学者がいます
われわれのように 円や三角形という形状を 
視覚的に見たことがありません

数学において、円(えん)とは、
平面(2次元ユークリッド空間)上の、ある点 O からの距離が
等しい点の集合でできる曲線のことをいう

われわれは距離が等しいということを
どのようにして獲得したのだろうか
ということを考えて見ます

それは なにか長さのある棒のようなものを
視覚的に比べることによって 獲得するようなものだと思われます
それがあって初めて コンパスのような道具も生み出され
われわれはその道具に信頼を寄せることが出来るのです
目の見えるわれわれには 当たり前のことです

さてここで盲目の幾何学者が
距離という概念どのように獲得していくのかを
考えてみたいと思います

(上で説明したとおり コンパスは視覚があって初めて信頼性のおける道具なので
ここでは コンパスの使用はひとまず認めないとします
同様に ある一転から 紐を結んで コンパス代わりにするといったこともひとまず禁じます
もしも 盲人が 視覚的情報なしで 円の概念にいたり
またコンパスを創ることができた時に
その使用を認めます)

盲人にとって 距離の概念は 聞いたり さわったりして
獲得されるものでなければなりません

なにか 二本の まっすぐな棒をもってきて その二つを手でなぞって
長さを比べ 同じ長さという概念にいたり 距離感を獲得していくものと思われます

したがって 円の数学的定義さえ知っていれば 
一応われわれと同じ円を構成することが出来ます

次に 円盤ができたとします
大きさは半径1メートルとします
この円盤が円盤であることは われわれは見ればすぐにわかりますが
盲目の幾何学者にとって
この円盤が 円であり 楕円ではないということが
どのように見分けがつくだろうか ということを考えます

なにせ 盲目の幾何学者は 触ることと 聞くことでしか
その実態を認識できません

二本の棒の長さを比べた時のように
なでるしかないのです
半径1メートルもある円盤なので
なでながら 歩いて 元に戻ってこなければなりません

はじめに 円盤のどこかに 触ったらそれとわかる 
スタートのしるしを付けておきます

なでながら 元のしるしのところに戻ってこれたなら
少なくとも その物体(円盤)の外周が閉じていることはわかります

さらに その物体(円盤)の外周の曲率が
すべて凸であることもわかります
凸凹はなでながら 歩く向きの違いでわかるはずだからです

つぎに その物体(円盤)の内部に穴が開いているか
どうかを調べなければなりません
手が届く範囲では 触って確認できますが
届かない時にどのようにして調べることができるでしょうか?

盲目の幾何学者は 見ることはできませんが 
聞くことができます
その物体(円盤)を叩くことによって
その物体の固有振動数を測定することにより
穴が開いているか いないか を決定できます

この問題は

「太鼓の形を聞きとれるか」

というMark Kacの有名な論文で提起され

「太鼓の音から、その面積、周の長さ、穴の数が聞き取れる」

ことが示されています
したがって 穴の数も 盲目の幾何学者は知ることができます

参考文献  

漸近挙動入門



あとは 曲率が一定であることがわかれば
それは円だということがわかります

どのようにして測定するか

ここで 盲目の幾何学者は 円盤の淵を棒で叩いて
その反響音を聞きました
そして 一つの命題を立てました

命題1

円盤のすべての周上で反響音が同じである時
円盤の周の曲率は一定である

そして この命題を元に
円の構成法を 思いつきました

命題2 

単連結の板の淵すべての点で同じ反響音になるように
板を削っていくと
その板は円盤に近づく

このような幾何学が 
盲人の幾何学であるように思えます

みなさん どうぞ 証明してみてください

そして盲人のとらえた円と
普通の幾何学の円は同じ概念なのか
ということを考えてみてください

モグラの知っている円と鳥の知っている円は同じか?

盲人の幾何学の考え方が 
音の幾何学の基本的な考え方になると思います

imagevvvv




命題 カップラーメンは無限に積み上げると消滅する

  • Day:2011.05.25 23:14
  • Cat:数学
DSC_1057_convert_20110525214949.jpg

カップラーメンを二つ積み上げた画像です
よくみると 上に乗っているカップラーメンのほうが
小さく見えませんか? 少し遠めで観てください

(まー 目の錯覚ですけど)

もう一つ 重ねて見ます

DSC_1059_convert_20110525215210.jpg

一番上に乗っているカップラーメンがさらに小さくなってしまいました
この調子でどんどん積み上げていくと 
カップラーメンはどんどん小さくなってしまうようです

(まー 目の錯覚ですけど そう言わずに)

命題 カップラーメンを無限に積み上げると 消滅してしまう

私たちは この命題が偽であることを知っています
数学では この命題が偽であることを証明しなくてはなりません

どうしたら証明できるか考えてみてください

次に 似たような問題をもう一つ

R0015066_convert_20110525223937.jpg

ここに三角形ABCがあります
辺AB BC CA のそれぞれの中点をC’B’A’
とします
中点連結定理より

AB=BC’+A’B’

AC=CB’+A’C’

上の図で 赤い部分の辺の合計の長さと
青い部分の辺の合計の長さは
等しいということです

次に この操作をもう一つ小さい三角形に施してみます

R0015067_convert_20110525225614.jpg

ここでも同様に 中点連結定理より

BC’=BE+DF
C’A’=ED+FA’
A’B’=A’H+GI
B’C=CI+HG

AB+BC
=BC’+A’B’+C’A’+B’C
=BE+DF+ED+FA’+A’H+GI+CI+HG

ようは 一つ大きい三角形の二辺の合計は
一つ小さい相似三角形の二辺の合計に等しいということです

R0015068_convert_20110525230642.jpg

辺の合計は全部おんなじ長さです

これを無限に繰り返すとどうなるか......
R0015070_convert_20110525231200.jpg

あれあれ 三角形が消滅してしまいました
どうなってしまったのでしょうか?

つづく