FC2ブログ

「音を聞いて削る」ことの定式化に向けて ~連続群の構造~ 

実験の様子


板切れを用意して、真ん中に圧電スピーカーを設置します。
前回までは、圧電スピーカーをいろいろな位置に置き換え、位置により振動数分布が違うことを調べてきました。
今回は、圧電スピーカーを一点に固定し、板の別のところを削ることにより、圧電スピーカーの響きが変化するかどうかを調べていきます。

まず、はじめの板の状態を以下に掲載します。
kz1.jpg
kz1_20130206215404.jpg
念のため、2回計測しました。
削ったあとでグラフがどう変化するかはっきりさせるためです。
以下のグラフが削ったあとの測定値です。
響きの状態が変化したことが確認できます。

kz2.jpg

このように、板の響きの状態は、形状に依存し、また形状は響きに依存します。
これが「音で形を決める」という物理学的な意味です。

各点の響き方の定義は 



      f(x)=ΣAnEXP(inθ)    Σ;無限和

X:板の一点   f(x):Xにおけるタッピングトーン


としました。
これは、ベクトルの無限線形結合ですので、この振幅を形式的に行列の対角成分として表すことにしておきます。

音を聞いて削るという意味は、この行列を変化させることと同じでありますから、
「掘るという操作」を無限次の行列(作用素)として表現することができます。
一応、削ったところを埋め木すればもとの振動数分布に戻せるということから
逆元も定義しておきます。



ここでまた、「掘るという操作」をほんの少しずつ進めたら、振動数分布が連続的に移行するかどうかを調べておきます。
(この時、圧電スピーカーは板状の一点に固定しておきます。)


kiki.jpg
(ノミで削るような離散的な変化ではなく、ヤスリで少しずつ削ることによって
連続的な微小変化を調べる。)

ヤスリで数回削るごとに圧電スピーカーによる響きの測定実験を行いました。
以下がその結果です。

y1
y2
y3
y4
y5

ノミで削った結果は大きくグラフが変化しましたが、ヤスリで少しずつ同じ場所を削っていった結果はグラフも連続的に少しずつ移行することが実験で確認できました。

ここでまた、「音を聞いて削る」という操作に対し、、その連続性を保証しておきたいと思います。

「音を聞いて削る」という操作は無限次の行列で表されます。
離散的にノミで削る操作は、行列の積で表現されますが、この積構造に連続性を保証することによって極限操作が可能であることを保障しておきます。

共鳴版上の一点をAとする

Aを連続的にヤスっていくと、共鳴版の各点Xにおける振動数分布が連続的に移行していく。

ヤスる(連続的にヤスリで削る)ことを無限次の行列で表す。
実際、振幅に当たるのはその対角成分だけでありますが、のちに、フォノグラムの図形変化に対応するのがこの行列に当たることを見ます。
ここで、複素数が本質的役割を果たすことを見ます。


形状の微小変化に対して、各点の振動数分布は連続的に微小変化するわけですから

行列の行列要素すべてが連続で、形状の微小変化を⊿Formとすれば

⊿Form→0の時

行列の各要素の微小変化⊿αn→0

となるということです。
(ブログなのでアイデアだけを掲載します。これをもとに厳密に数学的に表現することはさほど難しいことではありません。厳密さに欠けますが大目に見てください。)

操作の結合法則は明らかなので、これは群の構造を持ち、また連続であることから
連続群論の結果を利用することができます。

はじめての方へ *本ブログの内容説明



にほんブログ村 科学ブログへ
にほんブログ村
クリック お願いします











スポンサーサイト

Comment

Comment Form
公開設定

Trackback


→ この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。