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無限小変換

スピーカ位置替えggg

共鳴版の各点が振動数分布と対応し、それが、「響き」という量であることを前回定義しました。
共鳴版の任意の点におけるこの振動数分布は基本的には異なった分布を示します。
(それは等音面ではない!)
次に示したいことは、ある一点の振動数分布の状態を、可能な限り周囲に拡大していきたいということです。(それは、ある領域に関して等音面になっているということです。そろそろこういった言葉もしっかりとした定義を与えなくてはなりません。)
そのためにまず、共鳴版のある一点から、連続的に少しじつずらし、その時の対応する各点の振動数分布を調べてみたいと思います。

13_20130205144824.jpg

ただの板切れで実験したいと思います。
板にはフォノグラムで渦(黒点)と孤立特異点(白点)が書き込まれています。
この二つの相反する点は、同一共鳴版内で、”最も開きのある響き方”を示す二点です。これについては、後ほど定義していきたいと思います。
とにかくここでは、最も、振動数分布が異なる2点であると思ってください。
まずはその二点のグラフをそれぞれ掲載します。


9(黒点)

1(白点)

次に、白点から黒点へ少しずつづらし、各点の圧電スピーカによる測定結果を比較します。
1
2
3
4
5
6
7
8
9

共鳴版の各点に連続的に少しずつずらした位置で圧電スピーカーによる計測を行いますと、振動数分布も連続的に移行していることがわかります。

白点の周りの無限小近傍についても同様に調べてみました。
1k
2
3k
4k
5k
6k
7k

これは、各点の無限小近傍において、振動数分布のグラフが連続的に変化していることを保障する結果です。
この実験事実から次のことが言えます。

      f(x)=ΣAnEXP(inθ)    Σ;無限和

X:板の任意の点   f(x):Xにおけるタッピングトーン
A:板の一点

lX-Al<ε  ならば

l f(x)ー f(A)l<δ



ここで f(x)については、具体的な代数関数のようなものでなくグラフの振動数分布の移行の様子を対応させています。これは、各振動数の振幅が連続的に移行しているかどうかということで遠い近いを表していると考えますので、ここでこの考えに基づいて位相を入れてみたいと思います。


 f(x)=ΣAnEXP(inθ)    Σ;無限和

Anが各振動数の振幅に当たる量になるので各振動数の振幅にたいして(無限個)

lX-Al<ε


lAn(X)ーAn(A)l<δ  nは0~無限(無限個全てにこの式が成り立つ)

が成り立つとき、

Aの近傍において、 f(x)はXの連続関数であるということが言えます。

ここまで来ると、解析関数論の関数要素の概念にそのまま乗ってきます。

無限回微分可能という視覚的ななめらかさと、物理的に定義された音の世界のなめらかさが奇しくも一致を見るかもしれないという驚きの事実を目の当たりにすることになるのでしょうか?
これは証明すべき面白い問題です。
この証明には、今回の実証事実が必要です!
また、解析関数論の特徴である、フラクタル性(部分が全体を含み、全体が部分を含む)も注目すべきです。
響きという量は、一点から全体の情報を吸い上げ、全体から一点の情報を決めていくという極めて面白い性質を持っていることとも符合します。
これに、協和、不協和関係における弛緩と緊張を組み込むとフォノグラム図形と同じものが取れることになります。
フォノグラムの最大の特徴はフラクタル性というスケール普遍性にあります。

22_20130205155252.jpg



注:数学にうるさい人はこの文章は厳密さに欠けると思われるかもしれませんが、
基本的なアイデアは間違っていないと思います。ブログはいわば私にとってのメモなので大目に見てください。

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