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フォノグラム解析 「形の科学会用」 ④ カットした部分

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この部分は、時間の都合上大幅にカットしたところです。
今後の研究の指針のようなものだと思ってください。


フォノグラムの数理について

Ⅰ フォノグラムの幾何学的類似点について
「フォノグラムとは何か?」ということを数理的に解析していく上で、類似点を探すというのは非常に重要であります。従って、まずは幾何学的な類似点についてみていきたいと思います。
フォノグラムの幾何学的な特徴として、渦巻き模様、円、直線、フラクタル性が見られます。またこれらの図形は、疎らに一本二本というように存在するのではなく、稠密に入り込んでいます。これらの性質を併せ持つ数学は、複素関数論であり、幾何学的に言えば、一次元複素多様体であるということです。このことについて、各パターンを比較しながら、もう少し詳しく見ていこうと思います。

) 円、直線パターンのフォノグラムについて
 フォノグラムに現れる円や直線と類似している、複素関数というのは、シュタイナーの円族と呼ばれるものです。また、複素幾何学では「複比(非調和比)」と呼ばれる複素数ならではの量があります。
フォノグラムは音の図形である以上、「比」という量は、非常に重要です。音の観点からみた場合、この「比」という量は「音階」に当たります。音階は単純な整数比で与えられます。ここでは音階について詳しく説明することをしませんが、フォノグラムが円、直線パターンになるということと、共鳴板として完成するというのが同じであるということの関係性について言えることは、「比が保存される」ということです。シュタイナーの円族は、複比が保存される図形です。またこれらの図形の特徴として、閉じた図形であるということが言えます。逆に言えば、比が保存されないような図形は、開いた図形になるということになります。
以上が円、直線パターンのフォノグラムに関する幾何学的特徴になります。

) 渦巻き模様のフォノグラムパターンについて
次に渦巻き模様についてみてみたいと思います。フォノグラムに現れる渦巻き模様と類似しているものは、特異点を持つような複素関数です。
フォノグラムの幾何学的特徴として最たるものが、渦巻き模様です。また、複素関数において、特異点とは、関数を特徴づけるような点として見ることができます。このような意味合いから考えてみても、フォノグラムの渦巻き模様と特異点は、密接に関係していると考えられます。そこで、フォノグラムと特異点について、考えてみたいと思います。
まず特異点を持つような複素関数はいろいろとありますが、中でもローラン級数に展開できるような関数について考えたいと思います。ローラン級数は次のような式であらわされる関数です。

4.jpg

特異点と関係するのは、主要部と呼ばれるnが負の項です。複素関数のグラフにおいて、渦巻き模様が現れるのは、主要部があるためです。
ではなぜローラン級数のタイプの関数と、開いたフォノグラムが対応するかということについて述べたいと思います。フォノグラムを整えるという操作は、渦を消すということに一致します。このことと数理的な対応は、特異点を消すということになります。また複素関数のグラフについて言えば、特異点を消すことにより閉じたグラフとなります。
このような対応関係が考えられるため、フォノグラムの渦巻き模様は、ローラン級数に対応すると考えられます。

) フォノグラムとフラクタル性について
最後にフラクタル性について考えてみたいと思います。
まずフラクタル図形には、「自己相似性」という性質があります。自己相似性とは、部分を拡大すると、全体と同じ形となるような性質のことを言います。この性質も複素数特有の性質であり、同様な性質がフォノグラムにも見られます。
フォノグラムがフラクタル性を持つということについて考えてみます。ここでキーポイントとなるのは、先ほど触れました「音階」、すなわち「比」です。音楽では「スケール」という言葉で表されます。例えば、ドレミファソラシドという音階を一つとって考えますとその間には、スケール普遍性により同一の構造が存在します。これを数学的な言い方で言えば、「相似」ということになります。相似な三角形といったものを想像してみれば、そこにある本質的な性質として、「比」が保存されるという性質がります。従って、例えば元の音階と倍音関係にある音階は相似であるということが言えます。このようなこと踏まえれば、音階は自己相似性を持つということになります。また音階は有理数のように、稠密性を持ちます。以上のような理由により、フォノグラムがフラクタル性を持つと考えられます。

幾何学的類似点に関するまとめ
以上により、複素数特有の性質と、フォノグラムの性質が類似しているという点について、フォノグラムは一次元の複素多様体としての構造を持つということが考えられます。また自己相似性といった性質を考えますと、フォノグラムは等角構造を持つことがわかります。従って、リーマン面としての幾何学的構造をもつと結論付けられます。また、渦巻き模様のパターンは特異点を持つため開リーマン面、直線や円のパターンでは閉リーマン面に対応すると考えられます。



Ⅱ フォノグラムと代数的構造について
Ⅰでは、フォノグラムの幾何学的構造についてみました。そして、その構造とはリーマン面であるということが結論付けられました。このことを、フォノグラムの変化と対応させますと、開リーマン面を閉リーマン面にするということに当たります。従って、操作に対応するような代数的構造についても当然考えられます。以下ではそのことについて考えることにします。
まず「フォノグラムは同じ音をつないだ線である」ということ、「音階は単純な整数比で与えられる」ということを考えますと、各フォノグラムラインはそれぞれ独立に存在しているわけではなく、ある基準音があり、その音を整数倍したものの集まりとして考えるほうが自然であると思います。従って、基底が存在するということが言えます。このこととローラン級数との関係は、非常に重要であることがわかります。すなわち、z^nを基底としてみるということです。ここでもう一つ似たような級数があります。それは、フーリエ級数です。フーリエ級数とは次の式で与えられる級数です。

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この級数の特徴として、波の重ね合わせであるという性質があり、音とは非常に相性の良い式です。この場合もまた、e^inxを基底としてみることができます。以上により、各フォノグラムラインは係数に依存するということがわかります。これを数式で表すならば、

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となり、Aは無限次の正方行列となると考えられます。さらに、フォノグラムが形成するリーマン面というのは、そのような関数要素を解析接続することにより得られたものであると考えられます。ちょうどヘルマン・ワイルのリーマン面の概念に対応する形になります。またf(z)は関数要素であることから、複素数上の関数空間の元としてみなすことができます。
 次に渦を消すという操作について考えたいと思います。渦を消すということは、ローラン級数の主要部を消すということに対応するわけですが、そのような操作をTとすることにします。すなわち、

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と表すことができます。このようなTを作用素といいます。またこのTの特徴として、係数を変化させるという性質を持たなければならないということが言えます。さらに、量子力学と同様に複素数が本質的な役割を持つということが考えられます。すなわち、物理量として、何らかの作用素が存在し、それが複素数を用いて表されるということです。
 以上のように、関数要素、作用素として上記のように考えてきましたが、最終的にフォノグラムが整った状態というのは、どのようなものかということについて言及すれば、それは、ホワイトノイズであるということになります。これは、すべての音が矛盾なく存在するということです。従って、ホワイトノイズを一つの基本量として、フォノグラムの数理を構成できる可能性があるということです。


Ⅲ 全体のまとめ
 フォノグラムの幾何学的構造及び、代数的構造について考えてきました。ここではアウトラインとして各数学的概念との対応を見ました。なぜこのようなことが言えるのかというと、フォノグラムには何らかの対称性があるということです。それは「音の対称性」であり、ホワイトノイズであるということが言えます。このホワイトノイズこそが、フォノグラム解析の一つの到達点であり、音と形を統一的に扱うことのできる鍵となるものであるということが言えます。定式化という面ではまだまだですが、新しい科学として成立しうるという根拠は提示できたと思います。

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まとめtyaiました【フォノグラム解析 「形の科学会用」 ④ カットした部分】
この部分は、時間の都合上大幅にカットしたところです。今後の研究の指針のようなものだと思ってください。フォノグラムの数理についてⅠ フォノグラムの幾何学的類似点について「フォノグラムとは何か?」ということを数理的に解析していく上で、類似点を探すというのは...
  • 2012/06/20 15:54
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