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フォノグラム解析 (5)  数理的側面への導入過程

(by denden)
フォノグラムの正当性を示すには、*数学的な根拠*が必要となります。

*(おにょ)現時点で、客観的にその実在性を示すことができません。したがって、公理論的な研究を進めて、
何を観測すればその実在性を示したことになるのか? 等をまず明らかにした上で、客観性を担保したいと考えております。楽器を実際に作ったり、治療効果があったりというのは、間接的な証拠とはなりますが、決定打にはなり得ません。*

従って、まずフォノグラムの幾何学的特徴と、数学の幾何学との類似点
につて考えたいと思います。

 まず、セクション1で述べた「渦巻模様」について考えます。この模様は、
対数螺旋に似ています。また、整形過程で現れるフォノグラムの幾何学的パターンは、
複素関数の幾何学的特徴に非常に酷似しているということがわかります。

fig51_20120512224059.jpg
実際のフォノグラム1

fono_20120512224145.jpg
実際のフォノグラム2

 逆に、複素関数の幾何学的なパターンにおいて「渦巻模様」が現れる
場合というのはどのような場合か?といいますと、真性特異点を持つような関数です。
真性特異点を持つような複素関数は、ローラン級数展開できます。
ここで、ローラン級数とは次のような級数です。
無題aaaaa

渦巻き模様に対応しているのは、主要部です(nが負の項)。

Singularity.jpg
(ローラン級数を元に、そのマイナス項を連続的になくしていくようにプログラミングした
シュミレーション画像、狙い道理にフォノグラムのような図形があらわれた。)

Singularity1.jpg
(フラクタル性、渦巻き、フーリエ級数など持つべき性質を満たす数学的対象を探していました。
 全てとはいきませんが、なかなかいい線いってます。真実の一端は捉えているはずです。)


 次に、整形後のフォノグラムについて考えます。整形後は渦はなく、円や直線といった
対称的な図形が現れます。このパターンに類似したものは、クラドニ図形、シュタイナーの円です。

kkijuffffa_20120512224254.jpg
(実際のフォのグラム 整形後1)

kkkjjh_20120512224317.jpg
(実際のフォのグラム 整形後2)

まずシュタイナーの円は、複素関数で登場する図形です。整形過程だけではなく、形成後においても
複素関数の幾何学的パターンが見られます。次にクラドニ図形についてです。

20120512211405f20.jpg
(クラドニ図形)

2012051221112062e.jpg
(シュタイナーの円1 複素解析より)

20120512211126676.jpg
(シュタイナーの円2 複素解析より)

クラドニ図形は膜の振動
に対する幾何学的パターンです。クラドニ図形の特徴として、

1 閉じた図形になっている

2 フラクタル図形になっていること

という点があげられます。整形後のフォノグラムのパターンは、この特徴と一致します。またクラドニ図形は、
膜を振動させて始めて浮き上がる図形です。音と形という観点からみれば、非常に近いところにある
ということがいえます。以上により、フォノグラムが閉じた図形になるということと、共鳴板として完成する
ということが同じであると考えられます。

 以上が、フォノグラムの幾何学的な考察です。次に、簡単に「削る」という操作について考えます。
音を合わせて削るという操作については、関数要素の解析接続に対応すると考えられます。ただし、
この場合の関数要素は、フーリエ級数となります。また、渦を消すという操作については、渦がローラン級数
の主要部に対応するということから、特異点除去に対応するような操作であると考えられます。ここでも、
複素数(複素関数)が非常にキーポイントとなります。フォノグラムと複素数は、非常に関係深いものであると
考えられます。

 フォノグラムと数学との対応関係について見ました。このような対応が見られるということは、
フォノグラムには何らかの対称性が潜んでいるということが言えます。その対称性とは、「音の対称性」
に他なりません。フォノグラム及び、その解析により、「音の対称性」を明らかにするというのが
我々の一つの到達点となります。

******
フラクタル性についての言及が全くされていません。どんな感じで入れていったらいいのでしょうか?
また、操作に関する部分についてもあまり触れていません。予稿では、この二つの部分はあまり触れてい
ないので、この辺に関してご意見お願いします。
画像については、少々おまちください。対数螺旋、ローラン級数、クラドニ図形シュタイナーの円等の画像を入れます。
 以上です、ご意見お願いします。

*(おにょ)フラクタル性は「渦」の無限性(この前 素朴に質問された)と関係します。音列の無限性と関係があります。
基本的には、基音(これは楽器の最大の長さで決まると考えられる。 それは最も低い振動数)の自然倍音列を増やしていくことで、共鳴を増やしていくので、1、1/2,2/3,というように、音列が増えていきます。
ここで物理学と対応してきます。この自然倍音列を増やしていくことと、互いに素な振動数比の音が増えていくことは交互に来ると考えられます。あるいは同じこと?
ここはもう少しきっちりさせないといけませんが、、、、。
このことが、フラクタル性と関係しています。
また、音階構造というのはスケール依存しません。それは、音階というのは比が問題だからです。
ここも強調すべきポイントです。
このへんの絡みをはっきり理論の中に組み込むことができたら、より自然な方向に研究が進んでいくと思います。
また、複素平面の重ねあわせ、それは分岐点や特異点を中心に回転したシートが重ね合わされることによる
フラクタル性とフォノグラムのフラクタル性が類似していることも言わねばなりません。*

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