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「音を聞いて削る」ことの定式化に向けて ~連続群の構造~ 

実験の様子


板切れを用意して、真ん中に圧電スピーカーを設置します。
前回までは、圧電スピーカーをいろいろな位置に置き換え、位置により振動数分布が違うことを調べてきました。
今回は、圧電スピーカーを一点に固定し、板の別のところを削ることにより、圧電スピーカーの響きが変化するかどうかを調べていきます。

まず、はじめの板の状態を以下に掲載します。
kz1.jpg
kz1_20130206215404.jpg
念のため、2回計測しました。
削ったあとでグラフがどう変化するかはっきりさせるためです。
以下のグラフが削ったあとの測定値です。
響きの状態が変化したことが確認できます。

kz2.jpg

このように、板の響きの状態は、形状に依存し、また形状は響きに依存します。
これが「音で形を決める」という物理学的な意味です。

各点の響き方の定義は 



      f(x)=ΣAnEXP(inθ)    Σ;無限和

X:板の一点   f(x):Xにおけるタッピングトーン


としました。
これは、ベクトルの無限線形結合ですので、この振幅を形式的に行列の対角成分として表すことにしておきます。

音を聞いて削るという意味は、この行列を変化させることと同じでありますから、
「掘るという操作」を無限次の行列(作用素)として表現することができます。
一応、削ったところを埋め木すればもとの振動数分布に戻せるということから
逆元も定義しておきます。



ここでまた、「掘るという操作」をほんの少しずつ進めたら、振動数分布が連続的に移行するかどうかを調べておきます。
(この時、圧電スピーカーは板状の一点に固定しておきます。)


kiki.jpg
(ノミで削るような離散的な変化ではなく、ヤスリで少しずつ削ることによって
連続的な微小変化を調べる。)

ヤスリで数回削るごとに圧電スピーカーによる響きの測定実験を行いました。
以下がその結果です。

y1
y2
y3
y4
y5

ノミで削った結果は大きくグラフが変化しましたが、ヤスリで少しずつ同じ場所を削っていった結果はグラフも連続的に少しずつ移行することが実験で確認できました。

ここでまた、「音を聞いて削る」という操作に対し、、その連続性を保証しておきたいと思います。

「音を聞いて削る」という操作は無限次の行列で表されます。
離散的にノミで削る操作は、行列の積で表現されますが、この積構造に連続性を保証することによって極限操作が可能であることを保障しておきます。

共鳴版上の一点をAとする

Aを連続的にヤスっていくと、共鳴版の各点Xにおける振動数分布が連続的に移行していく。

ヤスる(連続的にヤスリで削る)ことを無限次の行列で表す。
実際、振幅に当たるのはその対角成分だけでありますが、のちに、フォノグラムの図形変化に対応するのがこの行列に当たることを見ます。
ここで、複素数が本質的役割を果たすことを見ます。


形状の微小変化に対して、各点の振動数分布は連続的に微小変化するわけですから

行列の行列要素すべてが連続で、形状の微小変化を⊿Formとすれば

⊿Form→0の時

行列の各要素の微小変化⊿αn→0

となるということです。
(ブログなのでアイデアだけを掲載します。これをもとに厳密に数学的に表現することはさほど難しいことではありません。厳密さに欠けますが大目に見てください。)

操作の結合法則は明らかなので、これは群の構造を持ち、また連続であることから
連続群論の結果を利用することができます。

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等音面 と 音図 (1)

「この世には、不思議なことなど何もないのだよ、関口君。(京極堂)」
                            姑獲鳥の夏より


ebnn.jpg


圧電スピーカーによる振動数分布の測定により、等音面というものが実証されました。
しかし、科学的に実証されたからといって、「等音面」を実現する技術的な問題は依然として残っています。


、一体どのようにすれば「等音面」を作ることができるのでしょうか?


実験結果が綺麗に出たのは、そのように私が作ることができるからであって、
「フォノグラム」を使いこなせなければ、依然として「等音面」を作ることはできないのです。

bgyhuj.jpg

ここでもう一度、今回の「等音面」の実証実験の結果と「フォノグラム」について
徹底的に議論してみたいと思います。


まず、今回の実験を鳥瞰してみます。

位置A



タッピングトーンを板全体にわたって揃えていくという、フォノグラムを利用した方法により、等音面を実現しました。
このフォノグラフィックな製作法は、熟練した耳と正確に削る木工技術があって初めて可能になるものであり、
このままでは科学の体をなしません。
そこで、私は、タッピングトーンを耳で聞くのと同様な客観的測定法を編み出しました。
それは、圧電スピーカーを聴診器代わりに使い、タッピングトーンで聞き取っていた響きの違いを再現性のある客観的な測定により、
調べるということでした。
スピーカーから出ている音を振動数分析し、デジタルデータとして視覚的に比較しました。
これはスペクトルアナライザーのフリーウエアーWEB SPECTRAM を利用しました。
縦軸に、振幅、横軸に周波数をとれば、今何の周波数たいがどれだけ出ているかわかりますが、これでは、動きすぎていて比較になりません。
そこで、少し工夫して、動いた周波数の振幅の積算値を比較することにした。
ある一定時間の周波数の振幅の積算は明らかに客観的な響きの違いを反映した量として利用することがでます。

スピーカ位置替えggg


これにより、等音面というものが文字どうり、共鳴版の各点において同じ振動数分布を示すことを実証することができました。

さて、この測定を続けて振動数分布を調べ、それが揃うようにして等音面を作ることは可能でしょうか?
時間を惜しまずに研究していけば可能かもしれません。
しかし、私には、フォノグラムがあります。
フォノグラムという技術、能力が先にあって、今回の実証につながったことを忘れてはいけません。


(ここは、再度強調しておきます。科学的事実が先にあったわけでははなく、すでに存在していて、まだよくわかっていない事実を科学的に説明したのです。人間の存在、能力、感覚は既成科学だけで説明のつくものではなく、
未だ謎に包まれた大いなる神秘だということです。ここに理性のメスでもって切り込んでいくのが本当の科学者というもののはずです。)

この複雑な振動数分布をどうすれば一致させることができるのでしょうか?
いよいよ、「フォノグラム」や「気」、「経絡」について解明する時がやってきました。


これから数回で、協和、不協和関係など、音楽の和声理論を公理として認め、
今まで用意してきた数学理論と融合させることにより、科学的な説明を試みたいと思います。といってもスケッチですが、、。


fig19.jpg

フォノグラムは、いわばヴァイオリンの経絡です。
楽器の研究は、すべて、この経絡現象の原理的解明のための伏線に過ぎません。

科学がまだメスを入れていない領域
科学がまだ結びつけることのできない「精神と物質」の関係

フォノグラムの研究の真の目的は、この人類の未開の地を切り開くためにあるのです。


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等音面 と 音図 (2) 秘密に迫る

この円形の共鳴版は、フォノグラムで音を合わせて作ったものです。
形が似ていても、フォノグラムが対称でなければ、共鳴版は等音面にはなりません。

jiku.jpg

実際に圧電スピーカーを用いて、振動数分布を測定すると、フォノグラムで対称にして作った共鳴版は、すべての点に対して、同一の振動数分布を示しました。
当然のことなのですが、いくら幾何学的、視覚的に対称にしてみたところで、共鳴版の各点が、同一の振動数分布を示すことはありません。
基本的には、フォノグラム技術がないと、等音面は作ることができないということです。

*あとから、この、フォノグラム図形を対称にしていく問題を数学的に取り扱っていこうと思います。そこで、この対称性のことを暫定的に音響対称性と呼ぶことにします。また、対称性を数学言語で表現する時、群論を使います。この音響対称性という概念は、歴史上新しい概念だと思われるので、これを表現する群を「おにょ群」と命名するかもしれません。ダサい~。*


jikubb.jpg

等音面においては、共鳴版の各点に付随する振動数分布のグラフが全く同じになるということです。

スピーカ位置替えggg

この複雑なグラフヲどうすれば一致させることができるのでしょうか?

これを可能にすることができるのは精密な機械ではなく、
音楽を理解することのできる生身の人間なのです。
これがフォノグラムを書くことを可能にしています。


その秘密を説明してみたいと思います。

上の図における、A点とB点に対応する振動数分布が以下の二つのグラフだとします。

A点に対応するグラフ
kz1.jpg


B点に対応するグラフ
9

これらの複雑なグラフをそっくりそのまま同じようにするように形を削っていくにはどうしたら出来るでしょうか?
超高機能のコンピューターでも難しそうです。

しかし、人間という「音楽というものを理解できる生命体」が、この複雑な操作をいとも簡単にやってのけしまうのです。

スペクトルアナライザーのグラフは、ある情報を含んでいません。
これは、フーリエ級数論や振動数特性に基づいて構築された音響学全般が見落としている問題だと思います。

それは、振動数分布だけでなく、その振動数分布の結果である、協和、不協和という
和声理論に基づいた発想です。

この協和、不協和という問題は、物理学的には説明をつけることができません。

協和関係が心地よい響きと感じ、不協和関係は不快な響きとして感じる

これは、生理学の問題であり、物理学では扱う対象ではないということです。
この、協和、不協和の快、不快という生理学的事実に普遍性を認め、厳密に理論化していったのが和声理論です。
これに普遍性を認めなければ、そもそも音楽という芸術が成り立ちません。

この和声理論を、証明なしの公理として認めることは、客観性を第一にする科学の立場からは批判を浴びるかもしれません。
今までは、そう言いながら遠慮をしてきましたが、我々には実験の方法があります。
和声理論を公理として認め、そうして出来上がった理論が、正しく実験事実と符合すれば、それで良いということになります。
科学的な測定法を編み出したことは、理論を組み立てる上でも有効に働きます!

従って、和声理論を公理として認めることにします。
これを認めることによって、一体何が言えるというのでしょうか?

実は、これこそが、上の二つのグラフの複雑な情報の違いを、身体が二値化して単純な情報に変換することを可能にするのです。
フォノグラムは、人間の身体的な生理反応を利用し、高性能な分析器として働かすことによって書きとっている図形なのです。

IMG_0018.jpg


今回の圧電スピーカーによる実証実験により
もはや何人たりとも、このフォノグラムの技法を否定することはできません。
それは他ならぬ科学的な実験事実を否定することになるからです。

つづく


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