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円について(1)

  • Day:2011.05.09 16:21
  • Cat:数学
頭に中だけに存在する完全な円 イデアの円を思い描いてみてください
すでに完璧に存在しています
円を作図したり コンパスで描いたりしなくても存在しています
頭の中の円は人間の行為(作図)を必要としていません すでにあるのです
これに比べて 現実世界の円は コンパスなどで作図したり 多角形で無限に近似したりと
なんらかの行為がなければ存在することができません
しかも不完全なかたちで

どんなに正確にコンパスで円を描いたとしても
円を描いたりしているうちに線がずれたり ペンの先が磨耗して線が太くなったりしてしまいます
そもそも線とは  幅のないもの なので 目で見ることができないのです
目で見られる円は 幅のある線(の様なもの)で描かれた円です

イデアの世界の完璧な円と 現実世界の円の根本的な違いは何でしょうか
ギリシャ時代からいろいろ言われていますが
わたしは すでに存在している円と 構成しなければ存在しえない円 ということに尽きると思います
前者に時間概念はありません ただただ永遠に存在しているのです
後者は時間の中にしか存在しえません 円を描くという行為 多角形を構成して無限に近づけるという行為
どんな行為であれ行為 行動は時間の中にしか存在しえません 

当たり前といえば 当たり前のことですが

たとえば 円周率πを考えて見ます

πはこの世に存在しません
イデアにすでに完璧に存在するものです

つぎに3.1415...の無限小数を考えて見ます
これはこの世のものです
多角形近似などによって代数的に計算して求めていけます
代数計算(式の計算)は時間の中に存在する 行為です
この計算は永遠に止まることがありません 永遠に続く行為は存在物とはみなされません

数学ではこのイデアの完璧な円周率πと現実世界の中で構成された円周率πを同一物だとみなし

π=3.1415...

とするのです

永遠の存在物と永遠に続く行為をイコールで結ぶのです
感覚的に結びつくはずのないものを結びつけるのです
そして 現実世界の無限につづく行為(代数計算)の極限として
πを捕らえるのです


解析学は他の数学の分野よりも現実世界の要請から生まれたものだと思います
微分法はニュートンが重力法則を記述するために生まれました

微分 極限 無限などの概念は
イデアの存在物と現実世界の行為を結びつけることから発展したのかもしれません

次回は 円の構成の仕方を具体的に見ていきましょう














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解析概論参究(1)

  • Day:2011.05.13 00:20
  • Cat:数学
解析概論参究ノート(1)

高木貞治の解析概論の徹底考究


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第2章 微分法  p35~37
13 微分 導関数

ある区間において、変数xの函数y=f(x)が与えられているとする.独立変数の二つの値 x、
x1に対応する函数の値をy、y1として

             x1-x=Δx、 y1-y=Δy
と略記する.然らば

             Δy/Δx=y1-y/x1-x

はxとx1との間の区間における函数yの平均の変動率である.


___________________________________________________________________________________

変数 函数などの概念は 解析概論p17参

ここでは 変動率 平均の変動率という概念について考えてみる。


R0014981_convert_20110512220039.jpg

文章の通りに図に表して見ます
可能な限りみなさんもやってみましょう

まず 変動率という言葉ですがこれは比率です

Δx:Δy=|x1-x|:|y1-y| 

です

Δy*|x1-x|=Δx*|y1-y| 


Δy/Δx=|y1-y| /|x1-x|    

で?式が出ます

ここでΔの記号に注意ですΔxとdxの違い気をつけてください(後に説明します)

それから
Δx Δyのような量と Δy/Δxのような量の違いに気をつけてください

|x1-x|=Δxや
|y1-y|=Δy

のような量は 長さ 幅 といった量で   (ここではわかりやすくするために絶対値記号をつけています)
足したり引いたりすることが出来る量です
これを外延量といいます
またΔはある幅を表している記号だと思ってください
dは違います(後に説明)

またΔy/Δxは比率ですので足したり 引いたり出来ません 
40パーセント+100パーセント=140パーセントとは出来ません
このような量を内包量といいます

外延量/外延量=内包量です

また

長さ×50パーセント=長さ

ですので

外延量×内包量=外延量です

この量の違いにいつも気をつけてください

まとめますと

ΔxやΔyは外延量
Δy/Δxは内包量

ということになります
次に
xとx1との間の区間における函数yの平均の変動率

という言葉について考えて見ます


R0014982_convert_20110512225803.jpg
 
区間Δxを等分に3分割してみます (外延量は分割できます 内包量は出来ません)
すると上の図のように区間ごとにそれに伴うΔyの分割は等分ではありません
Δx=|x-x1|=Δ1x+Δ2x+Δ3x=|x-x11|+|x11-x12|+|x12-x1|

でΔ1x、Δ2x、Δ3xは等分

Δy=|y-y1|=Δ1y+Δ2y+Δ3y=|y-y11|+|y11-y12|+|y12-y1|

でΔ1y、Δ2y、Δ3yは等分ではない
したがって

Δ1y/Δ1x

Δ2y/Δ2x

Δ3y/Δ3x

の値はそれぞれ違う (上の図で赤色の三角形)

この区間の平均の変動率というものは
この場合は3区間に分割しているので

Δy/Δx:=Δ1y/Δ1x+Δ2y/Δ2x+Δ3y/Δ3x/3

tanθ:=tanθ1+ tanθ2 +tanθ3/3

内包量は足すことは意味を成さないが
平均は意味を持ちことに注意(上記の式の分子は内包量の和になっている)

100%+100%+40%=240%

意味を持たないが

100%+100%+40%/3=80%は意味を持つ




分割の数を増やしていけば:=(近似等式)が=(等式)になります

直感的には上の図で
赤い三角形の形を平均すると青い三角形と相似になるということです
合同ではなく相似であると言うことに注意
ここでは比率が問題であるので

まとめ
外延量と内包量の概念の違いを抑える
Δとdは違うものだということを抑える(次回で説明)
平均の変動率とは 赤三角形のtanθの平均が青三角形のtanθに等しいということを抑える
内包量の和は意味を成さないが 内包量の平均は意味を成す








私の数学観 

  • Day:2011.05.14 23:38
  • Cat:数学
私はただの アマチュア数学愛好家ですが
数学というものを勉強していきますと
どうしても 厳密性や正確性を自分自身に課してしまい
自由に自分の思っていることを
表現できなくなってしまうことがあります。

この表現は厳密ではない
この表現は適切ではない

...

というように 禁止項ばかりが増えてしまいます
そして表現することをあきらめてしまう  

これは数学に食われてしまっている状態だと思います

不完全で 気まぐれで 恋をする人間が 理論を作るのであり
論理的な思考だけが 新しい数学を生み出す原動力ではないのです

人間的な情緒 心の動き があってこそ
数学に命が宿るのだと思います

すでにわかっていることを頭の中に詰め込んだところで
限りもないし すぐに厭きます

それよりもまだわかっていないことを
幼稚ながらも一歩一歩自分の頭で考えていくことこそ
創造的な頭脳の使い方だと思います

この世界の オリジナルな解釈の仕方

それが独創的な理論を生む源泉だと思います

そしてこの世界をどう捉えるかは 過去の理論ではなく
自分自身の感受性です

私も 恐れることなく 思いついたことをこのブログで
綴っていきたいと思います

数学といえども
人間のすることなのだということを忘れなければ
数学が死ぬことはないでしょう